Bài giảng Toán cao cấp 2 (Phần Giải tích): Bài 2 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: nguyên hàm và tích phân; tích phân xác định; tích phân suy rộng; ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo! | Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích Bài 2. Tích phân hàm một biến số Nguyễn Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email nguyenphuong0122@ Ngày 18 tháng 12 năm 2022 1 NỘI DUNG 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 3 Định nghĩa 3 Công thức cơ bản của tích phân bất định 5 Các phương pháp tính tích phân 6 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 13 Định nghĩa 13 Tính chất 18 Các phương pháp tính tích phân 22 3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 27 Tích phân suy rộng loại 1 30 Tích phân suy rộng loại 2 46 4 Ứng dụng trong kinh tế 52 Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên 52 Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 53 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Định nghĩa . Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên D nếu F x f x . Ví dụ . 1 sin x là nguyên hàm của cos x. 2 x2 là nguyên hàm của 2x. 3 x2 2022 là nguyên hàm của 2x. Định lý . Nếu hàm số F x là nguyên hàm của hàm số f x trên D thì 1 Hàm số F x C với C là hằng số bất kỳ cũng là nguyên hàm của hàm số f x . 2 Ngược lại mọi nguyên hàm của hàm số f x đều biểu diễn được dưới dạng số F x C với C là một hằng số. 3 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa Định nghĩa . Cho hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên a b . Khi đó biểu thức F x C với C là hằng số được gọi là tích phân bất định của hàm f x trên khoảng a b và được ký hiệu là Z f x dx Ví dụ . R 1 cos xdx sin x C R 2 2xdx x2 C Tính chất 2 F x dx F x C R R 1 f x dx f x R R R R R 3 af x dx a f x dx 4 f x g x dx f x dx g x dx. R R 5 Nếu f x dx F x C thì f u du F u C u u x . 4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Công thức cơ bản của tích phân bất định Các công thức tính tích phân cơ bản xα 1 xα dx dx R 1 C α ̸ 1 R α 1 8 cot x C R dx sin2 x 2 ln x C R dx 1 x x 9 2 2 arctan C x a a a R x ax 3 a dx C R dx 1 a x ln a 10 2 2 ln C R x a x 2a a x 4 e dx ex C R R dx x 5 sin xdx cos x C 11 arcsin C R a2 x2 a 6 cos xdx sin x C R dx R dx 12 ln x x2 a C 2 x a 7 tan x C cos2 x Ví dụ . Tính các tích phân sau R 1 x2 2x dx R x3 1 2 dx x2 5 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Các phương pháp tính tích phân
