Bài giảng Toán cao cấp 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm nhiều biến; tích phân hàm nhiều biến; phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo! | NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 2 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 2012 1 1 CHƯƠNG1 HÀM NHIỀU BIẾN Hàm nhiều biến Các định nghĩa Định nghĩa Error No text of specified style in Một qui luật f đặt tương ứng mỗi cặp số thực x y D D D R với một và chỉ một phần tử z R thì ta nói f là hàm hai biến số trên D D . Ký hiệu f D D R hay z f x y . Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự khi đó ta có u f x y z . Chẳng hạn u 1 x 2 y 2 z 2 u x y 2 z . Định nghĩa Error No text of specified style in Tập hợp các cặp x y mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi là miền xác định của hàm hai biến z f x y ký hiệu là D f . Ví dụ Error No text of specified style in 1 1 Miền xác định của hàm z là x 2 y 2 lt 4 . Vậy D f gồm các điểm nằm 2 2 1 x y trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2. 2 Miền xác định của hàm z sin x y là R 2 . Giới hạn của hàm hai biến Định nghĩa Error No text of specified style in Số L được gọi là giới hạn của hàm z f x y khi điểm M x y tiến đến điểm M 0 x 0 y 0 nếu với mọi ε gt 0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được δ gt 0 sao cho khi 0 lt M 0M lt δ thì f x y A lt ε . Ký hiệu lim f x y A M M 0 Hay lim f x y A . x x 0 y y 0 2 Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau Định nghĩa Error No text of specified style in Cho hàm số f M f x y xác định trong miền D chứa điểm M 0 x 0 y 0 có thể trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f x y khi điểm M x y dần tới điểm M 0 x 0 y 0 nếu với mọi dãy M n x n yn thuộc D dần tới M 0 ta đều có lim f x n yn L . Ký hiệu lim f x y L hay lim f M L . n x y x 0 y 0 M M 0 Ví dụ Error No text of specified style in Tính lim f x y với x y 0 0 xy f x y x 2 y2 Giải. x Ta có f x y . y y x y 0 0 do đó x n yn 0 0 ta đều có 2 2 x y lim f x n yn 0. x n yn 0 0 xy Ví dụ Error No text of specified style in Chứng minh lim không tồn tại x 0 y 0 x y2 2 Giải. Cho y x ta có x2 1 L lim 2 2
